So sánh :
a. \(2^{2\log_25+\log_{\frac{1}{2}}9}\) và \(\frac{\sqrt{626}}{9}\)
b. \(3^{\log_61,1}\) và \(7^{\log_60,99}\)
c. \(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{80}\) và \(\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{15+\sqrt{2}}\)
Tính toán các biểu thức
a) \(A=\log_{\frac{1}{25}}5\sqrt[4]{5}\)
b) \(B=9^{\frac{1}{2}\log_32-2\log_{27}3}\)
c) \(C=\log_3\log_28\)
d) \(D=2\log_{\frac{1}{3}}6-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}400+3\log_{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{45}\)
a) \(A=\log_{5^{-2}}5^{\frac{5}{4}}=-\frac{1}{2}.\frac{5}{4}.\log_55=-\frac{5}{8}\)
b) \(B=9^{\frac{1}{2}\log_22-2\log_{27}3}=3^{\log_32-\frac{3}{4}\log_33}=\frac{2}{3^{\frac{3}{4}}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{3}}\)
c) \(C=\log_3\log_29=\log_3\log_22^3=\log_33=1\)
d) Ta có \(D=\log_{\frac{1}{3}}6^2-\log_{\frac{1}{3}}400^{\frac{1}{2}}+\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{45}\right)\)
\(=\log_{\frac{1}{3}}36-\log_{\frac{1}{3}}20+\log_{\frac{1}{3}}45\)
\(=\log_{\frac{1}{3}}\frac{36.45}{20}=\log_{3^{-1}}81=-\log_33^4=-4\)
Bất phương trình logarit
$$1) \sqrt{log_{1/2}^{2} \frac{2x}{4-x} - 4} \leq \sqrt{5}$$
$$2)log_{2}(x-1)^{2} > 2log_{2} (x^{3} +x +1)$$
$$3)\frac{1}{log_{2}(4x)^{2} +3 } + \frac{1}{log_{4} 16x^{3}-2} <-1$$
$$4)log_{2} (4^{x}+4) < log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} -2)$$
So sánh :
a. \(0,7^{\frac{\sqrt{5}}{6}}\) và \(0,7^{\frac{1}{3}}\)
b. \(2^{\sqrt{3}}\) và \(3^{\sqrt{2}}\)
c. \(\log_{0,4}\sqrt{2}\) và \(\log_{0,2}0,34\)
a. \(0,7^{\frac{\sqrt{5}}{2}}\) và \(0,7^{\frac{1}{3}}\).
Ta có : \(\begin{cases}\left(\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2=\frac{5}{36}>\frac{4}{36}=\left(\frac{1}{3}\right)^2\Rightarrow\frac{\sqrt{5}}{6}>\frac{1}{3}\\0< 0,7< 1\end{cases}\)
\(\Rightarrow0,7^{\frac{\sqrt{5}}{6}}< 0,7^{\frac{1}{3}}\)
b. \(2^{\sqrt{3}}\) và \(3^{\sqrt{2}}\)
Ta có : \(\begin{cases}\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}=2^3=8\\\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{3}}=3^{\sqrt{6}}>3^2=9\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}< \left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow2^{\sqrt{3}}< 3^{\sqrt{2}}\)
c. \(\log_{0.4}\sqrt{2}\) và \(\log_{0,2}0,34\)
Ta có : \(\begin{cases}0< 0,4< 1;\sqrt{2}>1\Rightarrow\log_{0,4}\sqrt{2}< 0\\0< 0,2< 1;0< 1< 0,34\Rightarrow\log_{0,2}0,3>0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\log_{0,4}\sqrt{2}< \log_{0,2}0,34\)
Xác định dấu của biểu thức :
\(A=\frac{\log_53.\log_{15}4}{\log_{\frac{1}{3}}\frac{14}{5}.\log_{0,3}\frac{7}{2}}\)
Ta có :
\(\begin{cases}5>1;3>1\Rightarrow\log_53>0\\15>1;4>1\Rightarrow\log_{15}4>0\\0< \frac{1}{3}< 1;\frac{7}{2}>1\Rightarrow\log_{\frac{1}{3}}\frac{14}{5}< 0\\0< 0,3< 1;\frac{7}{2}>1\Rightarrow\log_{0,3}\frac{7}{2}< 0\end{cases}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\log_53.\log_{15}4}{\log_{\frac{1}{3}}\frac{14}{5}\log_{0,3}\frac{7}{2}}>0\)
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = 3(x-1)^{-3}\)
b) \(y = (2 - x^2)^{\frac{2}{5}}\)
c) \(y = (x^2 + x - 6)^{\frac{-1}{3}}\)
d) \(y = \left(\dfrac{1}{x^2-1}\right)^3\)
e) \(y = \log_{3} (x^2-2)\)
f) \(y = \log_{\frac{1}{2}}\sqrt{x-1}\)
g) \(y = \log_{\pi} (x^2+x-6)\)
d: ĐKXĐ: \(x^2-1< >0\)
=>\(x^2\ne1\)
=>\(x\notin\left\{1;-1\right\}\)
Vậy: TXĐ là D=R\{1;-1}
b: ĐKXĐ: \(2-x^2>0\)
=>\(x^2< 2\)
=>\(-\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\)
Vậy: TXĐ là \(D=\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\)
a: ĐKXĐ: \(x-1>0\)
=>x>1
Vậy: TXĐ là \(D=\left(1;+\infty\right)\)
c: ĐKXĐ: \(x^2+x-6>0\)
=>\(x^2+3x-2x-6>0\)
=>\(\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+3>0\\x-2>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x>-3\end{matrix}\right.\)
=>x>2
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+3< 0\\x-2< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< -3\\x< 2\end{matrix}\right.\)
=>x<-3
Vậy: TXĐ là \(D=\left(2;+\infty\right)\cup\left(-\infty;-3\right)\)
e: ĐKXĐ: \(x^2-2>0\)
=>\(x^2>2\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x>\sqrt{2}\\x< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy: TXĐ là \(D=\left(-\infty;-\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2};+\infty\right)\)
f: ĐKXĐ: \(\sqrt{x-1}>0\)
=>x-1>0
=>x>1
Vậy: TXĐ là \(D=\left(1;+\infty\right)\)
g: ĐKXĐ: \(x^2+x-6>0\)
=>\(\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x>2\\x< -3\end{matrix}\right.\)
Vậy: TXĐ là \(D=\left(2;+\infty\right)\cup\left(-\infty;-3\right)\)
Chứng minh :
Trong 3 số : \(\log_{\frac{a}{b}}^2\frac{c}{b};\log_{\frac{b}{c}}^2\frac{a}{c};\log_{\frac{c}{a}}^2\frac{b}{a}\) luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Ta có : \(\log_{\frac{a}{b}}^2\frac{c}{b}=\log_{\frac{a}{b}}^2\frac{b}{c};\log_{\frac{b}{c}}^2\frac{a}{c}=\log_{\frac{b}{c}}^2\frac{c}{a};\log_{\frac{c}{a}}^2\frac{b}{a}=\log_{\frac{c}{a}}^2\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\log_{\frac{a}{b}}^2\frac{c}{b}.\log_{\frac{b}{c}}^2\frac{a}{c}.\log_{\frac{c}{a}}^2\frac{b}{c}=\log_{\frac{a}{b}}^2\frac{c}{b}.\log^2_{\frac{b}{c}}\frac{c}{a}\log_{\frac{c}{a}}^2\frac{a}{b}=\left(\log_{\frac{a}{b}}\frac{c}{b}.\log_{\frac{b}{c}}\frac{c}{a}\log_{\frac{c}{a}}\frac{a}{b}\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow\) Trong 3 số không âm \(\log_{\frac{a}{b}}^2\frac{c}{b};\log^2_{\frac{b}{c}}\frac{c}{a};\log_{\frac{c}{a}}^2\frac{a}{b}\) luôn có ít nhất 1 số lớn hơn 1
Rút gọn biểu thức sau :
\(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+.......+\frac{1}{\log_{a^n}x}\)
Theo công thức biến đổi có số ta có : \(\log_{a^n}x=\frac{\log_ax}{\log_aa^n}=\frac{1}{n}\log_ax\)
Từ đó ta có :
\(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}\)
\(=\frac{1}{\log_ax}+\frac{2}{\log_ax}+\frac{4}{\log_ax}+...+\frac{n}{\log_ax}\)
\(=\frac{1+2+3+...+n}{\log_ax}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)
Vậy \(A=\frac{1}{\log_ax}+\frac{1}{\log_{a^2}x}+\frac{1}{\log_{a^3}x}+...+\frac{1}{\log_{a^n}x}=\frac{n\left(n+1\right)}{\log_ax}\)
Giải các phương trình sau:
a. \(log_{\frac{2}{x}}x^2-14log_{16x}x^3+40log_{4x}\sqrt{x}=0\)
b. \(log_{\frac{x}{2}}4x^2+2log_{\frac{x^3}{8}}2x+log_{2x}\frac{x^4}{4}=-\frac{14}{3}\)
a)\(\log_{\frac{2}{x}}x^2-14\log_{16x}x^3+40\log_{4x}\sqrt{x}=0\)ĐKXĐ: x>0
\(\Leftrightarrow2\log_{\frac{2}{x}}x-42\log_{16x}+20\log_{4x}\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\log_x\frac{2}{x}}-\frac{42}{\log_x16x}+\frac{20}{\log_x4x}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\log_x2-1}-\frac{42}{4\log_x2+1}+\frac{20}{2\log_x+1}=0\)
Đặt \(\log_x2=a\left(a\in R\right)\)
Thay vào pt:\(\frac{2}{a-1}-\frac{42}{4a+1}+\frac{20}{2a+1}=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-a+4=0\)(pt này vô nghiệm)
Vậy pt đã cho vô nghiệm
cái đó phải là \(-42\log_{16x}x\) nhé bạn
\(\log_{\frac{x}{2}}4x^2+2\log_{\frac{x^3}{8}}2x+\log_{2x}\frac{x^4}{4}=-\frac{14}{3}\)(ĐKXĐ:x>0)
\(\Leftrightarrow2\log_{\frac{x}{2}}2x+\frac{2}{3}\log_{\frac{x}{2}}2x+2\log_{2x}\frac{x^2}{2}=-\frac{14}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8}{3}\log_{\frac{x}{2}}2x+2\log_{2x}\frac{x^2}{2}=-\frac{14}{3}\)
Xét \(\log_{2x}\frac{x^2}{2}=\log_{2x}\frac{x^2}{4}\cdot2=2\log_{2x}\frac{x}{2}+\log_{2x}2=\frac{2}{\log_{\frac{x}{2}}2x}+\frac{1}{1+\log_2x}\)
Thay vào phương trình ta được:
\(\frac{8}{3}\log_{\frac{x}{2}}2x+2\left(\frac{2}{\log_{\frac{x}{2}}2x}+\frac{1}{1+\log_2x}\right)=-\frac{14}{3}\)
Đặt \(\log_2x=a\left(a\in R\right)\)
Xét
\(\log_{\frac{x}{2}}2x=\log_{\frac{x}{2}}2+\log_{\frac{x}{2}}x=\frac{1}{\log_2\frac{x}{2}}+\frac{1}{\log_x\frac{x}{2}}=\frac{1}{\log_2x-1}+\frac{1}{1-\log_x2}=\frac{1}{a-1}+\frac{1}{1-\frac{1}{a}}=\frac{a+1}{a-1}\)
Thay vào pt ta được:
\(\frac{8}{3}\cdot\frac{a+1}{a-1}+2\left(2\cdot\frac{a-1}{a+1}+\frac{1}{a+1}\right)=-\frac{14}{3}\)
Giải ra ta được a=0 hoặc a=-23/17
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2^{-\frac{23}{17}}\end{matrix}\right.\)
tìm x
\(\frac{3}{2}\log_{\frac{1}{2}}\left(x+2\right)^2-3=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)^3+\log_{\frac{1}{4}}\left(6+x\right)^3\)
đk: \(\begin{cases}x+2\ne0\\4-x>0\\6+x>0\end{cases}\)
ta có \(3\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-3=3\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)+3\log_{\frac{1}{4}}\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right)-\log_{\frac{1}{4}}\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\log_{\frac{1}{4}}\left(x+2\right).\frac{1}{4}=\log_{\frac{1}{4}}\left(4-x\right)\left(6+x\right)\) suy ra \(\frac{x+2}{4}=\left(4-x\right)\left(6+x\right)\)
giải pt tìm ra x
đối chiếu với đk của bài ta suy ra đc nghiệm của pt